Konsep Dasar Dan Cara Menuntaskan Persamaan Nilai Mutlak - Matematika Wajib Kelas X

Pada kesempatan ini, m4th-lab akan membahas bahan matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yakni mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh pada ukiran pena ini akan di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, dan beberapa cara menuntaskan persamaan nilai mutlak dilengkapi pola soal beserta pembahasannya. Semoga ukiran pena ini dapat membantu adik-adik yang sedang mempelajari nilai mutlak.

Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan

Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 pada suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan pola sederhana berikut:

Contoh:

$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 pada garis bilangan. 

$\left | x\right |=4$ dapat diartikan "berapa nilai $x$ yang memenuhi yang berjarak 4 dari 0 pada garis bilangan?". Maka akan kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 dan dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:

Dari gambar diatas, terlihat nilai yang berjarak 4 dari nol yakni $4$ dan $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yang memenuhi yakni $x=4$ atau $x=-4$.

Konsep tersebut dapat kita perluas, sehingga dapat kita gunakan untuk menuntaskan nilai mutlak yang melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:

untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, dan $k$ bilangan real positif, berlaku: 
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$ 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:

$\left | 2x-1\right |=5 $

Jawab:

$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$

Definisi Nilai Mutlak

Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, dapat kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai kasatmata (ingat, jarak tidak mungkin negatif). Jadi $|x|$ jikalau $x$ positif, maka $|x|=x$ dan jikalau $x$ negatif, maka $|x|=-x$, atau definisi secara umum dapat ditulis:

Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yang dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ jikalau } x\geq0 \\ -x & \text{ jikalau } x< 0 \end{cases}$

untuk memahaminya, perhatikan beberapa pola berikut:

$|0|=0$

$|9|=9$

$|-9|=-(-9)=9$

$|150|=150$

$|-150|=-(-150)=150$

$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:

1. $\left | -x \right|=\left | x\right |$
2. $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
3. $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
4. $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
5. $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
6. $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
7. $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
8. $|x|-|y|\leq |x-y|$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ dan untuk $x=-2$!

Jawab:

untuk $x=3$

$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$

untuk $x=-2$

$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$

---

Contoh 2:

Diketahui $f(x)=|2x-1|$ dan $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?

Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left |  |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$

---

Contoh 3:

Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ yakni ....

Jawab:

untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$

sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$

---

Contoh 4:

Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ yakni ....

Jawab:

untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$

sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$

---

Contoh 5:

Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ yakni ....

Jawab:

$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$

Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:

$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$

$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$

$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\left \{-6,2 \right\}$

---

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ yakni ....

Jawab:

Pembuat nol nilai mutlak di atas yakni $x=2$ dan $x=7$, dengan demikian untuk menuntaskan soal tipe ia atas, akan kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ dan $x > 7$.

untuk $x < 2$

untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$

untuk $2 <  x  < 7$

untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{           memenuhi}\end{align*}$

untuk $x \gt 7$

untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$

maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{     tidak memenuhi}\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\{ 3 \}$

---

Contoh 7:

Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ yakni ....

Jawab:

Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas pasti bernilai positif, maka bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$

jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas yakni $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$

---

Contoh 8:

Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ yakni ....

Jawab:

$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$

Berbeda dengan pola 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ pada ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ dan menggunakan definisi nilai mutlak.

pembuat nol nilai mutlak yakni $x=4$, maka akan kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ dan $x\gt 4$.

untuk $x\lt 4$

untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$

karena $x=3$ terletak pada interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.

untuk $x\gt 4$

untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$

$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$

karena $x=\frac{13}{3}$  terletak pada interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut yakni $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $

Setelah anda mempelajari beberapa pola soal dan pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yang kami bagikan pada link di bawah ini sebagai bahan latihan dapat bangun diatas kaki sendiri untuk mengasah pemahaman dan keterampilan bahan persamaan nilai mutlak:

Download Soal Persamaan Nilai Mutlak

---

Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa pola soal dan pembahasan dengan berbagai tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), jikalau penjelasan di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan bahan dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal dan pembahasan.

jangan lupa subscribe channel YouTube kami untuk video pembelajaran matematika gratis di https://yutube.com/m4thlab.

Bagikan Artikel ini