Fungsi Eksponensial - Matematika Peminatan Kelas X
Pada goresan pena ini kita akan belajar mengenai fungsi eksponensial. Pada kurikulum 2013 revisi materi ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan. Penerapan fungsi eksponensial banyak ditemui di banyak sekali bidang, seolah-olah bidang ekonomi, fisika, biologi, pertanian, dan sebagainya. Jadi, materi ini sangat penting untuk kita pelajari.
Definisi Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial yakni fungsi yang memetakan setiap $\displaystyle x\in$ bilangan real ke $\displaystyle f(x)=a^x$ dengan $a\ne 1$ dan $a\gt 0$
Bentuk umum fungsi eksponensial yakni $\displaystyle y=f(x)=k a^x$ atau dapat ditulis $\displaystyle f:x\rightarrow ka^x$
Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$. $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dan $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ bila kita gambar pada diagram cartesius, maka:
Kurva akan monoton naik bila $a\gt 1$
Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$
Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$
Sumbu $X$ merupakan Asimtot
Perhatikan gambar di bawah ini
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$
Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$. $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dan $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ bila kita gambar pada diagram cartesius, maka:
Kurva akan monoton naik bila $a\gt 1$
Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$
Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$
Sumbu $X$ merupakan Asimtot
Perhatikan gambar di bawah ini
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$
Dari gambar di atas, dapat kita lihat bahwa:
1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton naik, karena ialah yakni untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\lt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin besar, dan sebaliknya dikala $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin kecil".
2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.
3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $-\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun tidak pernah memotong sumbu $X$.
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$
Dari gambar di atas, dapat kita lihat bahwa:
1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton turun, karena ialah yakni untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\gt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin kecil, dan sebaliknya dikala $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin besar".
2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.
3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun tidak pernah memotong sumbu $X$.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh
Perhatikan gambar berikut:
Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di atas!
Pembahasan:
Misal persamaan kurva yakni $y=ka^x$.
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva yakni $y=4a^x$
Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan gosip tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$
Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:
$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$
Maka persamaan grafik fungsi di atas yakni $\displaystyle y=2^{x+2}$
Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, bila anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, supaya bermanfaat.
Contoh
Perhatikan gambar berikut:
Pembahasan:
Misal persamaan kurva yakni $y=ka^x$.
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva yakni $y=4a^x$
Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan gosip tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$
Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:
$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$
Maka persamaan grafik fungsi di atas yakni $\displaystyle y=2^{x+2}$
Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, bila anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, supaya bermanfaat.
Belum ada Komentar untuk "Fungsi Eksponensial - Matematika Peminatan Kelas X"
Posting Komentar