Turunan Fungsi Aljabar

Materi perihal turunan (diferensial) saya rasa sangat penting untuk dipelajari, alasannya yaitu ialah yaitu ialah materi ini dapat sangat membantu atau mempermudah materi lain, mirip dalam penyelesaian limit, nilai maksimum atau minimum, puncak fungsi kuadrat, perkara gradien dan sebagainya. 

A. Definisi Turunan Fungsi

Misalnya $y$ ialah suatu fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$, turunan fungsi $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $y'$ atau $f'(x)$ dan didefinisikan sebagai berikut: $$\boxed{f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Contoh:

Dengan menggunakan definisi $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}$, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

a. $f(x)=5$

b. $f(x)=x$

c. $f(x)=x^2$

d. $f(x)=x^3$

Jawab:

a. $f(x)=5$

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{5-5}{h}}=0$

b. $f(x)=x$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}\\&=1\end{align*}$

c. $f(x)=x^2$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}2x+h\\&=2x\end{align*}$

d. $f(x)=x^3$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}3x^2+3xh+h^2\\&=3x^2\end{align*}$

B. Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan kembali rujukan soal di atas, jadi rujukan tersebut kita peroleh kesimpulan:

1. Jika $f(x)=k$, maka $f'(x)=0$
2. Jika $f(x)=x$, maka $f'(x)=1$
3. Jika $f(x)=x^2$, maka $f'(x)=2x$
4. Jika$f(x)=x^3$, maka $f'(x)=3x^2$
5. dst

Dari rujukan terebut, kita menentukan rumus turunan sebagai berikut:
$$\boxed{f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=an x^{n-1}}$$
Contoh soal:
Dengan menggunakan rumus, tentukan turunan fungsi berikut:
a. $f(x)=4x^3$
b. $f(x)=3x^5+2x^2+3x+2$
c. $f(x)=\frac{3}{x^4}$
d. $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

Jawab:
$\begin{align*}\text{a.}\space f(x)&=4x^3\\f'(x)&=12x^2\end{align*}$

untuk menjawab soal potongan b, perhatikan dulu ketentuan berikut:
Jika $g$ dan $h$ ialah fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan, dan jikalau $f(x)=g(x)\pm h(x)$, maka: $f'(x)=g'(x)\pm h'(x)$. Dengan kata lain, jikalau suatu fungsi merupakan penjumlahan atau pengurangan dari beberapa suku, maka turunan fungsi tersebut juga merupakan penjumlahan atau pengurangan dari turunan suku-sukunya.

$\begin{align*}\text{b.}\space f(x)&=3x^5+2x^2+3x+2\\f'(x)&=15x^4+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*}\text{c.}\space f(x)&=\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\\f'(x)&=-12x^{-5}=-\frac{12}{x^5}\end{align*}$

$\begin{align*}\text{d.}\space f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\\f'(x)&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}\end{align*}$

C. Turunan Fungsi Majemuk

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jikalau $f(x)=U(x).V(x)$, maka:

$f'(x)=U'(x).V(x)+U(x).V'(x)$

Contoh:
Tentukan turunan dari $f(x)=(x^2-2x)(2x^2+3x)$

Jawab:

Misal 
$U=x^2-2x\Rightarrow U'=2x-2$
$V=2x^2+3x\Rightarrow V'=4x+3$

$\begin{align*}f'(x)&=U'V+UV'\\&=(2x-2)(2x^2+3x)+(x^2-2x)(4x+3)\\&=4x^3+2x^2-6x+4x^3-5x^2-6x\\&=8x^3-3x^2-12x\end{align*}$

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jikalau $f(x)=\frac{U(x)}{V(x)}$, maka:

$f'(x)=\frac{U'(x).V(x)-U(x).V'(x)}{[V(x)]^2}$

Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi $f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}$

Jawab:

Misal
$U=2x+1\Rightarrow U'=2$
$V=3x-2\Rightarrow V'=3$

$\begin{align*}f'(x)&=\frac{U'V-UV'}{V^2}\\&=\frac{2(3x-2)-(2x+1)3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{-7}{(3x-2)^2}\end{align*}$

Jika U merupakan fungsi dari $x$ yang dapat diturunkan dan jikalau $f(x)=U(x)^n$, maka:

$f'(x)=n. U(x)^{n-1}. U'(x)$

Contoh:

Tentukan turunan dari $f(x)=(5x^2+3)^7$

Jawab:

Misal: $U=5x^2+3\Rightarrow U'=10x$

$\begin{align*}f'(x)&=7(5x^2+3)^6.10x\\&=70x(5x^2+3^6)\end{align*}$

Bagikan Artikel ini