Notasi Sigma - Konsep, Sifat-Sifat, Referensi Soal Dan Pembahasan

Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yang singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yang panjang, salah satunya yaitu notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat bersahabat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma dapat digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan acuan tertentu dengan ringkas dan sederhana.

Bagaimana kita menulis ungkapan ibarat di bawah ini?

1. $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
2. $1+5+7+9+11+\cdots+2019$
3. $1+9+16+25+36+...+1.000.00$

Dari acuan di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi atau lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yang sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$

Keterangan:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$

$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$

$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$

$k=1$ disebut sebagai batas bawah

$k=n$ desebut sebagai batas atas

Catatan:

indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:

$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$  atau $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ dan sebagainya

Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$

Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$

Jawab:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$

Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya akan lebih mudah jikalau kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama dan $U_n$ suku terakhir, maka:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$ 

Contoh 3:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$

Jawab:

Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita dapat menggunkan cara yang sama dengan acuan 2 di atas:

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$

Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma

Contoh 1:

Tuliskan dalam notasi sigma:

$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$

Jawab:

$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$

Sifat-sifat Notasi Sigma

Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:

No	Sifat Notasi Sigma
1	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$
2	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$
3	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$
4	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$
5	$\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$
6	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$
7	$\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$
8	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$
9	$\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$
10	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$

Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$

Jawab:

Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$

Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, supaya bermanfaat.

Download file pdf artikel ini

• DOWNLOAD SOAL LIMIT

Bagikan Artikel ini