Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Sampai Dan Tak Tentu [Masalah Pembagian Dengan 0]
Dalam matematika berbagai istilah yang perlu kita pahami. Salah satu duduk perkara yang muncul, ketika kita menemukan perkara pembagian suatu bilangan dengan nol, mirip beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah hasil dari $\frac{1}{0}$ yaitu tak terdefinisi atau tak hingga?", "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.
Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu
Tak Terdefinisi (Undefined)
Sesuai namanya "tak terdefinisi" yaitu sesuatu yang tidak dapat kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa rujukan diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri contohnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.
Dalam aritmetika, ketika kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka hasilnya yaitu tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:
Kita tahu bahwa pembagian yaitu invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka dapat kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.
Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh alasannya ialah ialah yaitu itu, berapapun bilangannnya (selain nol) jikalau dibagi dengan 0, maka tidak dapat didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk memberikan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ dapat kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa aturan sebagai berikut:
Sama halnya mirip tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu rujukan bentuk tak tentu yaitu pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang menduga bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ yaitu 1, karena pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, karena itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak memiliki solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
Berikut ini beberapa duduk perkara yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak hingga dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak latih "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan{90^\circ}$ yaitu tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ yaitu tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak memiliki penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:
Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh alasannya ialah ialah yaitu itu, berapapun bilangannnya (selain nol) jikalau dibagi dengan 0, maka tidak dapat didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Tak Hingga (Infinity)
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk memberikan suatu nilai yang amat sangat besar (positif tak hingga) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ dapat kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa aturan sebagai berikut:
- $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle 0+\infty=\infty$
- $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
- $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
- $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
- $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$
Sebagai suplemen literatur, silakan baca ini .
Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)
Sama halnya mirip tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu rujukan bentuk tak tentu yaitu pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang menduga bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ yaitu 1, karena pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, karena itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak memiliki solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
- $\displaystyle\frac{0}{0}$
- $\displaystyle\infty-\infty$
- $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
- $\displaystyle 0\times \infty$
- $\displaystyle 0^0$
- $\displaystyle \infty^0$
- $\displaystyle 1^\infty$
Beberapa Masalah Terkait
Berikut ini beberapa duduk perkara yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak hingga dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak latih "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan{90^\circ}$ yaitu tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:
Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, dapat kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak terang bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:
Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, dan $\cot{\theta}$ dan juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$
2. Dalam Masalah Limit
Bagaimana jikalau saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?
Jika selesai anda yaitu $\infty$ atau "tak hingga", maka selesai anda belum tepat.
Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi jikalau limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.
Untuk perkara soal di atas, limit kiri fungsi tersebut yaitu negatif tak hingga, dapat kita tulis:
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$
Sementara limit kanan fungsi tersebut yaitu positif tak hingga, dapat kita tulis:$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ yaitu tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak memiliki penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:
Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.
Jadi, tidak semua limit dapat kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.
Demikianlah duduk perkara terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, dan tak tentu.
Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan tabrakan pena ini sebagai tumpuan utama, silakan anda cari tumpuan lain yang lebih terpercaya.
Semoga bermanfaat
Belum ada Komentar untuk "Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Sampai Dan Tak Tentu [Masalah Pembagian Dengan 0]"
Posting Komentar