Bukti Teorema Ptolemy

Tulisan kali ini masih berkaitan dengan ukiran pena sebelumnya, masih tentang segiempat talibusur (cyclic quadrilateral), pada ukiran pena sebelumnya kita sudah pertanda Formula Brahmagupta sementara pada kesempatan kali ini kita akan pertanda Teorema Ptolemy. 

Teorema Ptolemy ini sangat umum digunakan untuk mencari panjang sisi segiempat talibusur ataupun diagonal dari segiempat tali busur. Beginilah bunyi teorema tersebut:

Misal diketahui segiempat tali busur $ABCD$ seakan-akan pada gambar di bawah ini:

Teorema Ptolemy menawarkan bahwa hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang bersebrangan, atau dapat di tulis sebagai berikut:

$$\boxed{BD\times AC=CD\times AB+AD \times BC}$$

atau

$$\boxed{m\times n=ac+bd}$$

BUKTI TEOREMA PTOLEMY (Dengan Aturan Cosinus)

Perhatikan segitiga $ABC$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:
$n^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}\hspace{2cm}(1)$

Perhatikan segitiga $ACD$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:

$\begin{align*}n^{2}&= a^{2}+b^{2}-2ab\cos {(180^\circ-\alpha)}\\&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha\hspace{2cm}(2)\end{align*}$

dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:

$\begin{align*}c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{\alpha}\\c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}&=2(ab+cd)\cos{\alpha}\\ \cos{\alpha}&=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\hspace{2cm}(3)\end{align*}$

Sekarang kita substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(1)$:

$\begin{align*}n^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\\&=c^{2}+d^{2}-(\frac{c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2}}{ab+cd})\\&=\frac{(c^{2}+d^{2})(ab+cd)-(c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+c^{3}d+abd^{2}+cd^{3}-c^{3}d-cd^{3}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{(cda^{2}+abc^{2})+(abd^{2}+cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{ac(ad+bc)+bd(ad+bc)}{ab+cd}\\&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\hspace{2cm}(4)\end{align*}$

Perhatikan segitiga $ABD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$m^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}\hspace{2cm}(5)$

Perhatikan segitiga $BCD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$\begin{align*}m^2&=a^{2}+d^{2}-2ad\cos{(180^\circ-\beta)}\\&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\hspace{2cm}(6)\end{align*}$

dari persamaan $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align*}b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\\b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}&=2(ad+bc) \cos{\beta}\\  \cos{\beta}&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)}\hspace{2cm}(7)\end{align*}$

Substitusi persamaan $(7)$ ke persamaan $(5)$:
$\begin{align*}m^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)})\\&=b^{2}+c^{2}-( \frac{b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2}}{ad+bc})\\&=\frac{(b^{2}+c^{2})(ad+bc)-(b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2})}{ad+bc} \\&=\frac{b^{3}c+ab^{2}d+bc^{3}+ac^{2}d-b^{3}c-bc^{3}+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{ab^{2}d+ac^{2}d+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{(a^{2}bc+ac^ab^{2}d)(ac^{2}d+bcd^{2})}{ad+bc}\\&=\frac{ab(ac+bd)+cd(ac+bd)}{ad+bc}\\&=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\hspace{2cm}(8)\end{align*}$

dari persamaan $(4)$ dan $(8)$ kita peroleh:
$\begin{align*}n^{2}\times n^{2}&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\times \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\\(nm)^{2}&=(ac+bd)^{2}\\nm&=ac+bd\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$

Bagikan Artikel ini