Menentukan Banyak Angka Nol Berurutan (Tidak Terputus) Di Final Suatu Bilangan

Oke Guys pada kesempatan kali ini saya akan membuatkan materi menentukan banyaknya angka nol berurutan di final suatu bilangan, maksud "berurutan" berarti angka nolnya tidak terputus atau terhalang angka lain, misalnya $2348000000$ mempunyai $6$ angka nol berurutan, $231002000$ mempunyai $3$ angka nol berurutan. Ngerti kan maksudnya? jadi kita cuma akan menentukan banyaknya angka nol berurutan di final suatu bilangan. Oke kita mulai aja materinya, materinya akan saya bagi menjadi dua bagian, perhatikan baik-baik:

1. Menentukan Angka Nol Berurutan Bilangan Faktorial

yang pertama, kita akan menentukan banyaknya angka nol berurutan di final suatu bilangan faktorial, semoga lebih jelas perhatikan pola berikut:

Tentukan banyak angka nol berurutan dari:

a. $100!$

b. $250!$

c. $2017!$

Sebelum kita jawab soal di atas, perhatikan Formula yang akan kita gunakan berikut ini:

Keterangan:
Tanda "$\left\lfloor k \right\rfloor$" artinya kita ambil bilangan bulat yang nilainya kurang atau sama dengan $k$.

Sekarang kita akan coba menggunakan formula di atas untuk menjawab soal yang tadi:

Tentukan banyak angka nol berurutan dari:

a. $100!$

b. $250!$

c. $2017!$

JAWAB:

a. Banyak angka nol berurutan hasil dari $100!$ :

$\begin{align*}N&=\left \lfloor \frac{100}{5} \right \rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor\\&= 20 + 4 \\&= 24\end{align*}$

Jadi, hasil dari $100!$ mempunyai sebanyak $24$ angka nol berurutan diakhir

b. Banyak angka nol berurutan hasil dari $250!$ :

$\begin{align*}N&=\left\lfloor\frac{250}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{250}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{250}{125}\right\rfloor\\&=50+10+2\\&=62\end{align*}$

Jadi, hasil dari $250!$ mempunyai sebanyak $62$ angka nol berurutan diakhir

c. Banyak angka nol berurutan hasil dari $2017!$ :

$\begin{align*}N&=\left\lfloor\frac{2017}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2017}{625}\right\rfloor\\&=403+80+16+3\\&=502\end{align*}$

Jadi, hasil dari $2017!$ mempunyai sebanyak $502$ angka nol berurutan diakhir

2. Menentukan Banyaknya Angka Nol Berurutan dari Hasil Perkalian
Sekarang yang kedua, kita akan menentukan banyaknya angka nol berurutan dari hasil suatu perkalian, perhatikan contoh-contoh berikut:

CONTOH 1
Tentukan banyaknya angka nol tak terputus di final hasil operasi berikut:
1. $2^{10}\times 3^{2} \times 5^{15}$
2. $2^{2017}\times 5^{2015}\times 7^{2017}$
3. $8^{15}\times 5^{25}$

JAWAB:
1. Perhatikan bahwa angka nol terjadi sebagai hasil perkalian $2\times 5$, maka:

$\begin{align*}2^{10}\times 3^{2} \times 5^{15} &=(2^{10}\times5^{10})\times5^5\times3^2\\&=(2\times5)^{10}\times5^5\times3^2\\&=10^{10}\times5^3\times3^2\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut mempunyai $10$ angka nol tak terputus di serpihan akhir

2. Dengan cara yang sama, maka

$\begin{align*}2^{2017}\times5^{2015}\times7^{2017}&=2^{2015}\times5^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\\&=(2\times5)^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\\&=10^{2015}\times2^{2}\times7^{2017}\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut mempunyai $2015$ angka nol tak terputus di serpihan akhir

3. Dengan cara yang sama, maka:

$\begin{align*}8^{15}\times 5^{25}&=(2^{3})^{15}\times5^{25}\\&=2^{45}\times5^{25}\\&=2^{25}\times5^{25}\times2^{20}\\&=(2\times5)^{25}\times2^{20}\\&=10^{25}\times2^{20}\end{align*}$

Jadi, bilangan tersebut mempunyai $25$ angka nol tak terputus di serpihan akhir

CONTOH 2
Tentukan banyaknya angka nol tak terputus di final hasil operasi berikut:
1. $3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$
2. $21\times22\times23\times24\times25\times26\times27\times28\times29\times30$

JAWAB
1. $3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$
$=3\times(2\times2)\times5\times(2\times3)\times7\times(2\times2\times2)\times9\times(2\times5)$
Karena mempunyai $7$ faktor $2$ dan $2$ faktor $5$, maka bilangan ini memeiliki $2$ angka nol di akhir.

2.  $21\times22\times23\times24\times25\times26\times27\times28\times29\times30$
$=21\times22\times23\times24\times(5\times5)\times26\times27\times28\times29\times(5\times6)$
Terlihat bahwa bilangan tersebut mempunyai mempunyai faktor $5$ sebanyak $3$, banyaknya faktor $2$ tidak perlu kita hitung alasannya yakni yaitu ialah ialah pasti lebih banyak dari banyaknya faktor $5$, dengan demikian bilangan ini mempunyai $3$ angka dol di akhir.

Bagikan Artikel ini