Cara Menuntaskan Pertidaksamaan Rasional Atau Pertidaksamaan Kepingan (Matematika Wajib Kelas X)

Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yang berbentuk penggalan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel. Berikut ini beberapa teladan pertidaksamaan rasional.

$\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\geq 0$

$\displaystyle\frac{x^2-1}{x+7}\leq 5$

$\displaystyle\frac{5}{2x-1}\gt \frac{x+1}{x-5}$

Di atas, ada 3 teladan pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan penggalan dengan bentuk yang berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu sanggup diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\lt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$

Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang dan $g(x)$ sebagai fungsi penyebut dan $g(x)\ne 0$.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?

---

Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan:

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
 Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
 Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
 Gambar pada garis bilangan
 Lakukan pengujian tempat yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
 Tentukan himpunan penyelesaian

Perlu diingat bahwa penyebut dilarang bernilai nol, dengan demikian ketika menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ atau $\geq$).

Contoh Soal dan Penyelesaian

---

Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan teladan soal dan pembahasan berikut ini.

Soal pertama yang akan kita selesaiakan yakni pertidaksamaan rasional berikut:

$\displaystyle\frac{5x-20}{x-5}\leq 3$

Langkah pertama, kita perlu mengakibatkan ruas kanan pada pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk pada ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya

$\begin{align*}\frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 0 \\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}&\leq 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}&\leq 0\\ \frac{2x-5}{x-5}&\leq 0\end{align*}$

Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol pada pembilang dan penyebut.

Pembuat nol pada pembilang yakni $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Pembuat nol pada penyebut yakni $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yang memuat beberapa tempat yang dibatasi oleh titik kritis yang kita peroleh dari langkah kedua, dan perlu diingat pada titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yang sedang kita selesaikan $\leq$.

Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing tempat pada garis bilangan dengan melakukan pengujian.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu $x\leq\frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri",  tempat $\frac{5}{2}\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" dan tempat $x\gt 5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".

Pada masing-masing tempat tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk tempat kiri $(x\leq \frac{5}{2})$ saya ambil $x=0$, untuk tempat tengah $(\frac{5}{2}\leq x\lt 5)$ saya ambil $x=3$, dan untuk tempat kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}$ maka kita peroleh:

Titik Uji	$2x-5$	$x-5$	$\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}$
$x=0$	$(-)$	$(-)$	$\frac{(-)}{(-)}=(+)$
$x=3$	$(+)$	$(-)$	$\frac{(+)}{(-)}=(-)$
$x=6$	$(+)$	$(+)$	$\frac{(+)}{(+)}=(+)$

Baca juga : Cara gampang menentukan tanda $+$ dan $-$ garis bilangan tanpa titik uji

kita peroleh

Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.

Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ memiliki tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya yakni yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, yaitu tempat tengah pada garis bilangan tadi.

maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\leq 3$ yakni $\left\{x | \frac{5}{2}\leq x \lt 5, x\in R\right\}$

Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

---

Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$

Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:

$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$

Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$

Seperti yang kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, yaitu $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor persekutuan dilarang kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan jikalau terdapat faktor persekutuan misalnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah terperinci faktual dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$

titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka sanggup kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Dengan melakukan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:

tanda yang diminta pada pertidaksamaan terakhir yakni $\lt 0$ atau negatif, dipenuhi oleh tempat yang diarsir berikut:

maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ yakni $\{x| x\lt -2\text{ atau }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$


Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

---

Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit faktual dan definit negatif. Definit faktual artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai faktual untuk setiap $x$ anggota bilangan real, dan definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit faktual jikalau $a\gt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu positif.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif jikalau $a\lt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.

Perhatikan teladan pertidaksamaan rasional berikut:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ yakni ....

Penyelesaian:

$\begin{align*}\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}-1&\lt 0 \\ \frac{(2x^2+2x-4)-(x^2+4)}{(x^2+4)}&\lt 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}&\lt 0\end{align*}$

Karena $x^2+4$ merupakan definit positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

$\begin{align*}x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\end{align*}$

Titik kritisnya yakni $x=-4$ dan $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ yakni $\{x | -4\lt x\lt 2\}$

Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai bahan latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah bahan pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.

Bagikan Artikel ini